Page 5 - 高考试题分析（2024年版）数学
P. 5
【考查目标】 试题以三角函数、 多项式函数为背景， 构造了所要
研究的函数& 通过对函数性质的研究， 试题全面考查了导数及其应用，
这也是中学教学的重点与难点& 试题的第（!）问面向全体考生， 体现试题
的基础性， 利用导数就能得到函数的单调性， 考查考生通过导数解决实
际问题的能力、 计算与转化的能力， 体现函数与方程的数学思想在中学
教学的应用& 试题的第（*）问体现了试题的选拔性， 通过构造函数， 利用
导数得到函数的单调性， 进而利用单调性得到所要论证的不等式， 考查
了化归与转化的能力、 分类讨论的能力、 逻辑推理能力、 数学运算能力，
具有较好的选拔功能&
【试题分析】
解题思路#（!）求出 ，（#）的导函数， 并因式分解得
*
*
*
&) *）67 # （*）67# ) !）（+）67# . &）
，;#- ') - &
）
（
+
+
）67# ）67#
利用余弦函数的单调性可得 ，;（#）的符号， 进而得到 ，（#）的单调性&
<
（
（*））" ##要讨论当 ，#） ，74 *# 时， 当 的取值范围， 首先要观
察 ，（#） ) 74< *# 的解析式中每一部分的符号&由于 ，（ #） ) 74< *# - 当# )
<
<
74# ， 74#
(
) 74< *#， 注意到当 # ! %， ) 时， ) ) 74< *#，%， 如果 当# 也小于
&
&
）67# * ）67#
零， 那么 ，（#）) 74< *#，%&
于是当 当&% 时， ，（#），74< *#& 下设 当9%&
<
74#
当 当9% 时， ，（#）) 74< *# - 当# ) ) 74< *# 的符号不好确定， 这里需
&
）67#
( ， )
要利用不等式的放缩， 常用的不等式为： 当 # ! %， * 时， 74< #，#& 所
以由 ，（#），74< *# 得到
! #
. *）67#9当 9当&
&
<
）67 # 74#
) ##)
$
得
